Лабораторная работа 8

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке* (а, b). Дифференцируемая на промежутке (а, b) функция F(x), производная которой в каждой точке (а, b) равна f(x), называется первообразной функции f(x), если:

F'(x) = f(x).

Поскольку (F(x) + С)' = F'(x) = f(x) для любой постоянной С, то можно говорить о семействе первообразных множестве функций вида  F(x) + C которое называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом :

где  - знак интеграла; f(x)dx подынтегральное выражение;

 f(x) подынтегральная функция; х переменная интегрирования; F(x) + С значение неопределенного интеграла, т.е. семейство пер-вообразных функции f{x):

Порядок выполнения работы

1). Вычислите неопределенный интеграл и проверьте правильность вычи-слений; постройте графики семейств первообразных.

Указание:

1. Установите автоматический режим вычислений и режим ото-бражения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите подынтегральную функцию как функцию пере-менной х.

3. Найдите первообразную, используя символьную математику пакета.

4. Определите первообразную как функцию переменной.

5. Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.

6. Упростите производную от первообразной, сравните резуль-тат с подынтегральной функцией.

7. Постройте на одном графике изображения нескольких перво-образных.

 Указание. Для того, чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкните по кнопке  в панели , введите с клавиатуры в помеченных позициях по-дынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение рамкой, затем щелкните по кнопке  в панели  . Первообразная, в которой по умолчанию значение произвольной константы равно нулю, будет отображена справа от стрелки. Скопируйте вычисленное выражение и присвойте его функции переменной х (в приведенном фрагменте - это F(x)). Для того чтобы проверить первообразную, вычислите ее производную. Для этого скопируйте в буфер обмена* выражение первообразной, щелкните по кнопке дифференцирования , вставьте из буфера обмена**  выражение первообразной, введите с клавиатуры переменную дифференцирования и дальше действуйте так же, как при символьном вычислении первообразной. Построить графики семейства первообразных можно, щелкнув по кнопке  в панели . Далее следует ввести в помеченной позиции возле оси ординат, разделяя запятой, выражения для первообразных с различными значени-ями константы (в приведенном фрагменте это F(x) 5, 10, 15) и щелкнуть по рабочему документу вне поля графиков.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad

Если j(t) непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая x=j(t), получим формулу интегрирования заменой переменной:

.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл    заменой переменных .

Указание.

1. Для того чтобы выполнить в неопределенном интеграле замену переменной х новой переменной , введите в рабочий документ  и разрешите его относительно переменной х (выделите х, щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics), затем продифференцируйте полученное выражение по t (т.е найдем dx).

2. Скопируйте в рабочий документ подынтегральную функцию переменной х, скопируйте в буфер обмена выражение для х и выполните замену (выделите х, щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics).

 3. Вычислите неопределенный интеграл по t, действуя как описано выше.

 4. Выполните обратную подстановку (замените переменную t ее выражением через х).

5. Упростите выражение (разложите на множители), используя меню символьных операций Symbolics, пункт Factor.

6. Проведите проверку полученных результатов. Продифференцируйте полученное выражение по x и упростите.



* Здесь возможно а = - бесконечность, b = + бесконечность

* Выделите выражение, щелкнув вблизи него по полю и растянув пунктирный прямоугольник, и выберите в меню Edit пункт Copy либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<C>.

** Выберите в меню Edit пункт Insert либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<V>.

 

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальны задания к лабораторной работе  8.

Вычислите неопределенный интеграл  и проверьте правильность вычислений, постройте графики семейства первообразных.

f(x)

f(x)

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20