Лабораторная работа 7

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция f(x) определена на промежутке (а, b), точка   произвольная точка из области определения функции*. Обозначим  через -> f( ) = f( + x;) f( ) приращение функции в точке  , вызванное приращением x независимой переменной х. Производной функции f(x) в точке x= , I (a,b), называется предел отношения  приращения функции  f( ) к приращению x при стремлении x к нулю, т.е.

.

Здесь f ( )   производная функции в точке  I (a, b). 

Порядок выполнения работы

1). Найдите по определению производную функции

f(x)= .

Вычислите значение производной в точке = 0. Поскольку f(0) = 0, то приращение функции f(x) в точке х = 0 равно f(0) = f(0 + x) - f(0) = f( x) - f(0) = f( x).

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите функцию.

3. Определите приращение функции в указанной точке.

4.Вычислите предел отношения приращения функции к прира-щению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

5. Вычислите производную аналитически.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.

Значение функции при x, отличном от нуля

Производная функции f(x) в точке х=0 существует и равна 4.

     f (x)=4

Рис. 35.  Символьное дифференцирование

Указание. Символ приращения  выберите в панели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использованием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 35.). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке , разверните панель инструментов Calculus, щелкните в ней по кнопке дифференцирования  , введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9> (рис.36.).

Рис. 36. Дифференцирование с использованием панели  Calculus

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе  7.

Найдите производную функции f(x). Вычислите значение производной в точке x=0, имея в виду, что f(0)=0.

f(x)

f(x)

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20




* Возможно (а, b) = (-бесконечность,+бесконечность).