Лабораторная работа 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке* (а, b). Дифференцируемая на промежутке (а, b) функция F(x), производная которой в каждой точке (а, b) равна f(x), называется первообразной функции f(x), если:
F'(x) = f(x).
Поскольку (F(x)
+ С)' = F'(x) = f(x) для
любой постоянной С, то можно
говорить о семействе первообразных
множестве функций вида F(x) + C
которое называется неопределенным
интегралом функции f(x) и
обозначается символом :
где
- знак интеграла; f(x)dx
подынтегральное выражение;
f(x) подынтегральная функция; х переменная интегрирования; F(x) + С значение неопределенного интеграла, т.е. семейство пер-вообразных функции f{x):
Порядок выполнения работы
1). Вычислите
неопределенный интеграл
и проверьте правильность вычи-слений;
постройте графики семейств
первообразных.
Указание:
1. Установите автоматический режим вычислений и режим ото-бражения результатов вычислений по горизонтали.
2. Определите подынтегральную функцию как функцию пере-менной х.
3. Найдите первообразную, используя символьную математику пакета.
4. Определите первообразную как функцию переменной.
5. Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.
6. Упростите производную от первообразной, сравните резуль-тат с подынтегральной функцией.
7. Постройте на одном графике изображения нескольких перво-образных.
Указание.
Для того, чтобы вычислить
неопределенный интеграл, щелкните
по кнопке в панели
,
введите с клавиатуры в помеченных
позициях по-дынтегральную функцию
и переменную интегрирования,
выделите все выражение рамкой,
затем щелкните по кнопке
в
панели
. Первообразная, в
которой по умолчанию значение
произвольной константы равно нулю,
будет отображена справа от стрелки.
Скопируйте вычисленное выражение и
присвойте его функции переменной х
(в приведенном фрагменте - это F(x)).
Для того чтобы проверить
первообразную, вычислите ее
производную. Для этого скопируйте в
буфер обмена* выражение
первообразной, щелкните по
кнопке дифференцирования
,
вставьте из буфера обмена** выражение
первообразной, введите с
клавиатуры переменную
дифференцирования и дальше
действуйте так же, как при
символьном вычислении
первообразной. Построить графики
семейства первообразных можно,
щелкнув по кнопке
в панели
.
Далее следует ввести в помеченной
позиции возле оси ординат, разделяя
запятой, выражения для
первообразных с различными значени-ями
константы (в приведенном фрагменте
это F(x) 5, 10, 15) и
щелкнуть по рабочему документу вне
поля графиков.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad
Если j(t) непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая x=j(t), получим формулу интегрирования заменой переменной:
.
Задание.
Вычислите неопределенный интеграл
заменой переменных .
Указание.
1. Для того
чтобы выполнить в неопределенном
интеграле замену переменной х
новой переменной , введите в
рабочий документ
и разрешите
его относительно переменной х (выделите
х, щелкните по строке Solve в
пункте Variable меню Symbolics),
затем продифференцируйте
полученное выражение по t (т.е
найдем dx).
2. Скопируйте в рабочий документ подынтегральную функцию переменной х, скопируйте в буфер обмена выражение для х и выполните замену (выделите х, щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics).
3. Вычислите неопределенный интеграл по t, действуя как описано выше.
4. Выполните обратную подстановку (замените переменную t ее выражением через х).
5. Упростите выражение (разложите на множители), используя меню символьных операций Symbolics, пункт Factor.
6. Проведите проверку полученных результатов. Продифференцируйте полученное выражение по x и упростите.
* Здесь возможно а = - бесконечность, b = + бесконечность
* Выделите выражение, щелкнув вблизи него по полю и растянув пунктирный прямоугольник, и выберите в меню Edit пункт Copy либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<C>.
** Выберите в меню Edit пункт Insert либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<V>.
Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.
Индивидуальны задания к лабораторной работе 8.
Вычислите
неопределенный интеграл
и проверьте правильность
вычислений, постройте графики
семейства первообразных.
|
f(x) |
|
f(x) |
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|