Лабораторная работа 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение и вычисление определенного интеграла
Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке [a, b]. Разо-бьем промежуток на п произвольных частей точками
и обозначим
.
На каждом
промежутке возьмем
произвольную точку xi и
вычислим в ней значение функции f(x).
Выражение
называется интегральной
суммой функции f(x).
Если при существует и конечен
предел
, не зависящий ни
от способа разбиения промежутка [а, b]
точками
, ни от выбора точек
, то этот предел называют определенным
интегралом от функции f(x)
по промежутку [a, b], a саму
функцию - интегрируемой на [a, b].
Обозначают
Из
приведенного определения
естественно следует
геометрический смысл
определенного интеграла: если f(x) > 0,
то равен площади фигуры,
ограниченной графиком функции,
осью абсцисс и прямыми x = a, x = b.
Порядок выполнения работы
Задание1.
Вычислить значение интеграла от
линейной функции, определить
площадь соответствующей фигуры,
записать выражения для инте-гральных
сумм (при разбиении отрезка
интегрирования на N равных
частей длины ), найти пределы
интегральных сумм и по-строить
графики зависимости интегральных
сумм от N и от D.
f(x) :=2х + 1 а := 1 b := 5
Указание.
Для того чтобы вычислить
определенный интеграл, щелкните в
панели по кнопке
и
введите с клавиатуры в помеченных
позициях пре-делы интегрирования,
подынтегральную функцию и
переменную интегрирования;
выделите
выражение, щелкните по кнопке в
панели
, а затем по ра-бочему
документу вне выделяющей рамки.
Вычисленное значение интеграла
будет отображено в рабочем
документе справа от стрелки.
Постройте график функции.
Геометрическая фигура,
ограниченная графиком функции,
осью абсцисс и прямы-ми x = а,
x = b, трапеция. Вычислите
площадь трапеции и сравните со
значением интеграла. Разбейте
отрезок [a, b] на N равных
частей и определите три интеграль-ные
суммы как функции N,
различающиеся способом выбора
точки
на отрезке
: SI(N) для
, Sr(N) для
и Sm(N) для
. Чтобы определить соответствующую
интегральную сумму, введите с
клавиатуры ее имя и знак
присваивания; щелкните по кнопке
в
панели
и введите в
помеченных позициях индекс
суммирования, его начальное и
конечное значения и выражение для
вычисления слагаемого. Чтобы найти
предел интегральной суммы при
, щелкните по кнопке
в
панели
, введите в помеченных
позициях N, бесконечность
и имя
соответствующей интегральной
суммы, выделите выражение предела,
щелкните по кнопке в панели
и
по рабочему документу вне
выделяющей рамки. Сравните
значения полученных пределов между
собой и со значением интеграла. В
приведенном фрагменте построены
два графика интегральных сумм.
Левый гра-фик изображение
зависимости интегральных сумм от N.
На графике видно, что при любом
значении N интегральная сумма Sm(N)
равна значению интеграла, а ин-тегральные
суммы SI(N) и Sr(N)
стремятся к нему с ростом N,
монотонно возрастая и убывая
соответственно. На правом графике
изображена зависимость значений
интегральных сумм от длины отрезка
разбиения
.
Видно, что, когда длина отрезка разбиения стремится к нулю, значения интеграль-ных сумм стремятся к точному значению определенного интеграла.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad
Значения подынтегральной функции вычисляются в левых концах отрезков
Значения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезков
Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезков
Задание 2. Для заданной функции исследуйте поведение интегральных сумм на заданном отрезке интегрирования, разбивая отрезок интегрирования на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.
Порядок выполнения задания
1. Установите автоматический режим вычислений и режим ото-бражения результатов по горизонтали.
2. Определите подынтегральную функцию как функцию пере-менной х и постройте ее график.
3. Вычислите определенный интеграл.
4. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в левом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.
5. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в правом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.
6. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в середине отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.
7. Сравните полученные значения пределов между собой и со значением интеграла.
8. Постройте графики интегральных сумм как функций числа разбиений отрезка интегрирования.
9. Постройте графики интегральных сумм как функций длины отрезка разбиений.
Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.
Индивидуальное задание к лабораторной работе 9.
Вычислить
определенный интеграл непосредственно
и с помощью замены переменных.
|
f(x) |
[a, b] |
|
|
f(x) |
[a, b] |
1 |
|
[0, 16] |
|
11 |
|
[0,4 |
2 |
|
[0, 1] |
|
12 |
|
[0,2 |
3 |
|
[0, 5] |
|
13 |
|
[0, |
4 |
|
[3, 5] |
|
14 |
|
[6, 9] |
5 |
|
[0, |
|
15 |
|
[8, 12] |
6 |
|
[0, |
|
16 |
|
[6, 10] |
7 |
|
[0, 4] |
|
17 |
|
[0, 3] |
8 |
|
[0, 2] |
|
18 |
|
[1, 64] |
9 |
|
[0, 4] |
|
19 |
|
[0, 3] |
10 |
|
[0, 5] |
|
20 |
|
[0, 1] |